Conţinut

• instrucțiuni de ghidare
• sfaturi
• avertisment

Definiția epsilon-delta este o demonstrație pe care elevii o învață în primul an de cursuri de calcul. Această definiție este o metodă clasică de a arăta că o funcție se apropie de un anumit prag, deoarece o variabilă independentă se apropie de o valoare dată. Epsilonul și delta sunt, respectiv, a patra și a cincea literă a alfabetului grecesc. Aceste scrisori sunt utilizate în mod tradițional în procesul de calculare a granițelor și sunt, de asemenea, utilizate în procesele demonstrative.

instrucțiuni de ghidare

Definiția epsilon-delta este utilizată pentru a rezolva întrebările la limită. (Jupiterimages / Photos.com / Getty Images)

1. Ar trebui să începeți prin a lucra cu definiția limită formală. Această definiție afirmă că "limita f (x) este L, pe măsură ce x se apropie de k, dacă pentru fiecare epsilon mai mare decât zero există o deltă corespunzătoare, mai mare decât zero, astfel încât, atunci când valoarea absolută a diferenței dintre x și k este mai mică decât delta, valoarea absolută a diferenței dintre f (x) și L va fi mai mică decât epsilonul. "În mod informal, aceasta înseamnă că limita lui f (x) este L, când x se apropie de k, dacă este posibil să se facă f (x) cât mai aproape de L după cum se dorește, apropiindu-se de x la k. Pentru a realiza demonstrația epsilon-delta, trebuie să se demonstreze că este posibil să se definească delta în termeni de epsilon, pentru o anumită funcție și limită.

   
   

2. Manipulați instrucțiunea "| f (x) - L | este mai mică decât epsilonul" până când obțineți | x - k | mai puțin decât o anumită valoare. Considerați această "o anumită valoare" ca fiind delta. Amintiți-vă definiția formală și ideea centrală, care spune că este necesar să arătați că pentru orice epsilon există o deltă, stabilind între ei o relație care face definiția adevărată. Din acest motiv, este necesar să se definească delta în termeni de epsilon.

3. Observați câteva exemple de mai jos pentru a lua în considerare noțiunea de definiție a definiției. De exemplu, pentru a demonstra că limita de 3x-1 este 2, atunci când x se apropie de 1, considerăm k = 1, L = 2 și f (x) = 3x-1. Pentru a fi siguri că | f (x) - L | este mai mică decât epsilon, nu | (3x - 1) - 2 | mai mică decât epsilonul. Aceasta înseamnă că | 3x - 3 | este mai mică decât epsilonul, deci 3 | x - 1 | este, de asemenea, sau || x - 1 | este mai mică decât epsilon / 3. Astfel, având în vedere că delta = epsilon / 3, | f (x) - L | va fi mai mic decât epsilon ori de câte ori | x - k | este mai mică decât delta.

   
   

sfaturi

• Partea centrală a probei este transformarea f (x) - L în x - k. Dacă țineți cont de acest obiectiv, restul demonstrației va avea loc perfect.

avertisment

• În unele situații, limita unei funcții poate indica faptul că f (x) tinde spre infinit ori de câte ori x tinde spre infinit. Definiția epsilon-delta nu funcționează în aceste cazuri; în aceste situații, o demonstrație similară poate fi făcută prin alegerea a două numere mari, M și N, și arătând că f (x) poate depăși M, cauzând x să depășească N, iar M poate fi la fel de mare cum este dorit.